猫の定理

【問題】

直線y=kx、曲線y=x³-6x²+9xがある。0< k <9の時、直線と曲線の交点のxの座標を(0,α,β)として、(0,α)の間で直線と曲線に囲まれた面積と(α,β)の間で直線と曲線に囲まれた面積が等しいときのkの条件を求めよ。

【解答】

定数kは、0toβの∫(x³-6x²+9x-kx)dx=0
上式を積分し、1/4β²-2β+9/2-k/2=0
直線と曲線の関係式よりβ³-6β²+9β-kβ=0
両者を連立させると、β=0,4
β=0のとき解なし、β=4のときk=1
以上よりk=1

【猫の定理を用いた別解】

「にゃあ」
「にゃー」
よって猫=飼えば良いのです。